TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL) I
TRANSFORMADA DE LAPLACE – I
Descrição e conteúdo programático da disciplina
Objetivo: Apresentar os conceitos fundamentais do Cálculo Integral necessários à compreensão e ao desenvolvimento da Transformada de Laplace, desde as operações com diferenciais e integrais até a obtenção das transformadas de funções elementares.
1. Revisão de conceitos fundamentais de Cálculo I
Conceito de diferencial de uma função.
Diferencial de uma função y = f(x).
Integral indefinida e sua interpretação.
Integração da função exponencial: integral de e^u du.
Diferenciais exatas e condições para sua existência.
Conceito de integrando e identificação das variáveis livres e mudas.
Integração por partes: dedução da fórmula e aplicações.
2. Introdução à Transformada de Laplace
Histórico e finalidade da Transformada de Laplace.
Definição matemática da Transformada de Laplace.
Integral imprópria e intervalo de integração de zero a infinito.
Condições de existência da Transformada de Laplace.
Interpretação das variáveis:
t: variável independente no domínio original.
s: variável independente no domínio transformado.
Notação: f(t) e F(s).
3. Transformadas de Laplace de funções elementares
Dedução passo a passo, a partir da definição integral, das seguintes transformadas básicas:
Função constante: f(t) = c.
Função seno: f(t) = sen(at).
Função cosseno: f(t) = cos(at).
Para cada função, serão desenvolvidos:
Substituição da função na definição da Transformada de Laplace.
Desenvolvimento da integral imprópria.
Aplicação dos métodos de integração.
Cálculo dos limites de integração.
Determinação da expressão final F(s).
Condições necessárias para a convergência da integral.
4. Resultados fundamentais esperados
Ao final desta primeira parte, o aluno deverá compreender e demonstrar os seguintes resultados:
Função original
Transformada de Laplace
f(t) = c
F(s) = c/s
f(t) = sen(at)
F(s) = a/(s² + a²)
f(t) = cos(at)
F(s) = s/(s² + a²)
