UERJ 2022 ÁLGEBRA EXTERIOR I

Introdução à Geometria Diferencial a partir do conceito de manifold (variedade), estabelecendo a diferença fundamental entre Geometria Intrínseca e Geometria Extrínseca. Utiliza-se a Terra como exemplo para mostrar que propriedades geométricas podem ser estudadas localmente, sem depender da forma como o manifold está imerso em um espaço de dimensão maior.

São apresentados:

Definição de manifold (variedade) e a ideia de uma geometria que, localmente, se comporta como um espaço euclidiano.

Geometria Extrínseca × Geometria Intrínseca, destacando, no exemplo da Terra, a diferença entre observar a superfície como uma esfera no espaço tridimensional e estudar suas propriedades utilizando apenas medidas realizadas sobre a própria superfície.

Geometria Intrínseca e velocidade, mostrando como o movimento de uma partícula pode ser descrito sobre o manifold e como surge o conceito de vetor velocidade tangente.

Espaço tangente, interpretado como o espaço euclidiano associado a um ponto do manifold, contendo os vetores tangentes possíveis naquele ponto.

Cartas (charts) e parametrização local, introduzindo coordenadas que permitem representar uma região do manifold em um espaço euclidiano.

Relações entre duas cartas, mostrando como mudar de coordenadas em uma mesma região do manifold e como aparecem as funções de transição.

Relações entre dois manifolds, introduzindo o conceito de aplicação entre variedades e preparando a compreensão de transformações entre espaços de dimensões possivelmente diferentes.

Vetor tangente a uma curva no manifold, definindo matematicamente o vetor associado à velocidade de uma curva e mostrando sua importância para a descrição do movimento na Geometria Diferencial.

O objetivo é construir a base geométrica necessária para compreender posteriormente formas diferenciais, Álgebra Exterior, aplicações entre manifolds, push forward e pull back, fundamentais para aplicações em Física Matemática e, particularmente, na formulação geométrica da Relatividade.