UERJ 2023 COLETÂNEA XII DERIVADA DE LIE - CAMPO VETORIAL

Construção da geometria local de um manifold: definição de charts, representação das coordenadas de pontos e descrição de curvas em um manifold. Construção de um campo vetorial, associando um vetor a cada ponto do manifold.

Estudo de curvas congruentes em um manifold e da ideia de Lie dragging, isto é, o arraste de curvas e vetores por meio do fluxo gerado por um campo vetorial. Interpretação geométrica de como um campo vetorial movimenta pontos e curvas do manifold.

Introdução às aplicações entre dois manifolds e aos operadores pushforward e pullback, com aplicação do pushforward ao transporte de vetores entre os espaços tangentes correspondentes.

Construção da derivada de Lie como uma maneira de comparar um campo vetorial em pontos diferentes do manifold. Estudo do caso particular em que os pontos são relacionados por curvas congruentes, permitindo interpretar a derivada de Lie como a variação de um vetor durante o Lie dragging.

Aplicação da série de Taylor em pontos especiais de um manifold, considerando dois pontos próximos, P e Q, e introduzindo um parâmetro λ para representar a posição ao longo de uma curva que conecta esses pontos.

Expansão de Taylor nas proximidades do ponto de coordenada λ = q e análise da relação entre os valores do campo vetorial nos pontos P e Q. Construção do transporte de um vetor por pushforward e comparação entre o vetor transportado e o vetor originalmente definido no ponto de referência.

Estudo do operador adjunto, relacionando pushforward e pullback e mostrando como essas operações permitem transportar vetores e covetores entre espaços tangentes e cotangentes.

Desenvolvimento da expansão de Taylor para pontos próximos no manifold e obtenção da diferença entre o vetor em Q e o vetor transportado de P para Q. Passagem ao limite para pontos infinitesimalmente próximos.