UERJ 2023 COLETÂNEA XIV CURVATURA
Tensor Curvatura
Apresentação da curvatura de um manifold a partir da derivada covariante, mostrando como a geometria intrínseca surge da comparação entre derivadas covariantes realizadas em diferentes direções.
Derivada covariante de primeira ordem
Derivada covariante das componentes de um vetor.
Derivada covariante das componentes de um tensor de 2ª ordem.
Papel dos símbolos de Christoffel na correção da derivada usual para obter uma quantidade tensorial.
Interpretação geométrica da derivada covariante e sua relação com o transporte paralelo.
Derivada covariante de segunda ordem
Aplicação sucessiva da derivada covariante.
Derivada covariante de segunda ordem de um vetor e de tensores.
Por que, em geral, a ordem das duas derivações covariantes não pode ser trocada.
Relação entre essa não comutatividade e a existência de curvatura.
Conceito de curvatura
Comparação entre dois transportes paralelos realizados em direções diferentes.
O aparecimento de uma diferença entre os resultados como medida da curvatura intrínseca do manifold.
Relação entre curvatura, derivadas covariantes e símbolos de Christoffel.
Importante: os símbolos de Christoffel, isoladamente, não são componentes de um tensor, enquanto a combinação que descreve a curvatura é tensorial.
Tensor de curvatura de Riemann
Construção do tensor de Riemann a partir da diferença entre duas derivadas covariantes.
Interpretação geométrica de suas componentes.
Relação entre o tensor de Riemann e os símbolos de Christoffel e suas derivadas.
Simetrias e propriedades fundamentais do tensor de Riemann.
Tensor de Ricci
Obtenção do tensor de Ricci pela contração de índices do tensor de Riemann.
Interpretação do Ricci como uma forma reduzida de informação sobre a curvatura.
Relação entre Riemann, Ricci e a curvatura escalar.
Aplicações à geometria diferencial e, posteriormente, à Relatividade Geral.
Objetivo principal: mostrar, de maneira progressiva, como se passa de derivada covariante → segunda derivada covariante → n
